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- Golden ratio base is a non-integer positional numeral system that uses the golden ratio (the irrational number 1 + √5/2 ≈ 1.61803399 symbolized by the Greek letter φ) as its base. It is sometimes referred to as base-φ, golden mean base, phi-base, or, colloquially, phinary. Any non-negative real number can be represented as a base-φ numeral using only the digits 0 and 1, and avoiding the digit sequence "11" – this is called a standard form. A base-φ numeral that includes the digit sequence "11" can always be rewritten in standard form, using the algebraic properties of the base φ — most notably that φ + 1 = φ2. For instance, 11φ = 100φ. Despite using an irrational number base, when using standard form, all non-negative integers have a unique representation as a terminating (finite) base-φ expansion. The set of numbers which possess a finite base-φ representation is the ring Z[1 + √5/2]; it plays the same role in this numeral systems as dyadic rationals play in binary numbers, providing a possibility to multiply. Other numbers have standard representations in base-φ, with rational numbers having recurring representations. These representations are unique, except that numbers with a terminating expansion also have a non-terminating expansion. For example, 1 = 0.1010101… in base-φ just as 1 = 0.99999… in base-10. (en)
- La base d'or ou base φ est, en mathématiques, le système de numération utilisant le nombre d'or, à savoir comme base. Ce système de numération en base non entière est également désigné plus rarement comme « développement phinaire » (car le symbole pour le nombre d'or est la lettre grecque « phi »), mais aussi « système de numération de Bergman ». Tout nombre réel positif possède une représentation standard en base φ où seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés, et où la suite « 11 » est évitée. Une représentation non standard en base φ avec ces deux chiffres (ou avec d'autres chiffres) peut toujours être réécrite en forme standard, en utilisant les propriétés algébriques du nombre φ — c'est-à-dire que φ + 1 = φ2.Par exemple 11φ = 100φ. Malgré l'usage d'une base irrationnelle, tous les entiers naturels possèdent une représentation unique en développement fini dans la base φ. Les réels positifs qui possèdent une représentation finie (avec une quantité finie de 0 et 1) dans la base phinaire sont les entiers de ℚ(√5) positifs. Les autres nombres positifs possèdent des représentations standards infinies en base φ, les nombres rationnels positifs ayant des représentations récurrentes. Ces représentations sont uniques, excepté celles des nombres qui ont un développement fini ainsi qu'un développement non fini (de la même manière qu'en base dix : 2,2 = 2,199999… ou 1 = 0,999…). Cette base est présentée en 1957 par (en). À cette époque, George Bergman entrevoit peu d'utilisations pratiques de son système mais pense ouvrir un nouveau champ d'investigation en théorie des nombres mais depuis, l'étude de la base d'or a produit des fruits en informatique, notamment pour la conception de convertisseurs analogique-numérique et de processeurs tolérants au bruit. (fr)
- 黄金進法（おうごんしんぽう、golden ratio base, phinary）は、黄金比（φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803399）を底とした広義の記数法である。全ての非負実数はφを底とした0, 1列によって表され、このうち "11" の連続を除いたものを「標準形」と呼ぶ。"11" を含むφ進表記は、φ + 1 = φ2 という関係を用いて標準形に書き直すことができる。例えば 11φ = 100φ である。 黄金進法は無理数を底とした記数法であるが、全ての非負整数は一通りの（有限）φ進表現を持つ。また、有理数は循環小数として表すことができる。これらの表現は10進法でいうところの 1 = 0.999... のような場合を除いて一意的である。 (ja)
- Het talstelsel met de gulden snede als basis is een positiestelsel waarin elk niet-negatief reëel getal kan worden voorgesteld door een reeks van machten van de gulden snede, het irrationale getal , zonder dat in de voorstelling twee opeenvolgende machten van voorkomen. Deze voorstelling, die uniek is, wordt de standaardvorm genoemd. Zo worden de getallen 1 tot en met 9 in dit talstelsel voorgesteld door: In dit talstelsel kan een getal dus voorgesteld worden in de standaardvorm door een rij 0'en en 1'en, zonder dat direct na elkaar twee 1'en voorkomen. Het is ook mogelijk een niet-standaardvorm als representatie te geven. Een rij waarin wel de deelrij "11" voorkomt, kan omgeschreven worden in de standaardvorm door de deelrij "11" te vervangen door "100" (en verder om te rekenen), gebruikmakend van de relatie: . Zo is bijvoorbeeld: De omrekening had ook als volgt kunnen gaan: . (nl)
- Złoty system liczbowy – binarny, pozycyjny system liczbowy o podstawie złotej liczby. Zapis liczby w tym systemie nie jest jednoznaczny. Złota liczba spełnia równanie φ² = φ + 1, co oznacza, że podobnie jak w systemie Fibonacciego dwie jedynki na kolejnych miejscach możemy zastąpić jedynką na miejscu wcześniejszym (…011…= …100…). Standardowo zapisuje się liczby w postaci „bez dwu kolejnych jedynek”. (pl)
- 黄金进制（英語：Golden ratio base）是使用黄金比φ作为底数的进位制，其中 是一个无理数。在英语中，黄金进制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黄金进制下，任何非负整数都约定使用0和1表示，并且不连续使用两个1，这叫做黄金进制的标准形。任何黄金进制的数凡是出现11，就一定可以根据黄金比φ的性质 φ+1=φ2 表示成标准形。例如，11φ = 100φ。 虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的，但和十进制一样，整数和有限小数都可以写成无限小数的形式，如十进制中的 1 = 0.99999…。 (zh)
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- Is this "minus 1"? How can a negative number be used within the numbers below? Is this standard notation? If it is, then it needs further explanation for laymen, if it is not, then it should not be used. (en)
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- 黄金進法（おうごんしんぽう、golden ratio base, phinary）は、黄金比（φ = (1+√5)/2 ≈ 1.61803399）を底とした広義の記数法である。全ての非負実数はφを底とした0, 1列によって表され、このうち "11" の連続を除いたものを「標準形」と呼ぶ。"11" を含むφ進表記は、φ + 1 = φ2 という関係を用いて標準形に書き直すことができる。例えば 11φ = 100φ である。 黄金進法は無理数を底とした記数法であるが、全ての非負整数は一通りの（有限）φ進表現を持つ。また、有理数は循環小数として表すことができる。これらの表現は10進法でいうところの 1 = 0.999... のような場合を除いて一意的である。 (ja)
- Złoty system liczbowy – binarny, pozycyjny system liczbowy o podstawie złotej liczby. Zapis liczby w tym systemie nie jest jednoznaczny. Złota liczba spełnia równanie φ² = φ + 1, co oznacza, że podobnie jak w systemie Fibonacciego dwie jedynki na kolejnych miejscach możemy zastąpić jedynką na miejscu wcześniejszym (…011…= …100…). Standardowo zapisuje się liczby w postaci „bez dwu kolejnych jedynek”. (pl)
- 黄金进制（英語：Golden ratio base）是使用黄金比φ作为底数的进位制，其中 是一个无理数。在英语中，黄金进制也叫做base-φ、golden mean base、phi-base、phinary。在黄金进制下，任何非负整数都约定使用0和1表示，并且不连续使用两个1，这叫做黄金进制的标准形。任何黄金进制的数凡是出现11，就一定可以根据黄金比φ的性质 φ+1=φ2 表示成标准形。例如，11φ = 100φ。 虽然黄金进制使用无理数作为基底，任何非负整数在黄金进制下都可以表示成有限小数。所有有理数则都可以表示成循环小数。所有数的有限表示都是唯一的，但和十进制一样，整数和有限小数都可以写成无限小数的形式，如十进制中的 1 = 0.99999…。 (zh)
- Golden ratio base is a non-integer positional numeral system that uses the golden ratio (the irrational number 1 + √5/2 ≈ 1.61803399 symbolized by the Greek letter φ) as its base. It is sometimes referred to as base-φ, golden mean base, phi-base, or, colloquially, phinary. Any non-negative real number can be represented as a base-φ numeral using only the digits 0 and 1, and avoiding the digit sequence "11" – this is called a standard form. A base-φ numeral that includes the digit sequence "11" can always be rewritten in standard form, using the algebraic properties of the base φ — most notably that φ + 1 = φ2. For instance, 11φ = 100φ. (en)
- La base d'or ou base φ est, en mathématiques, le système de numération utilisant le nombre d'or, à savoir comme base. Ce système de numération en base non entière est également désigné plus rarement comme « développement phinaire » (car le symbole pour le nombre d'or est la lettre grecque « phi »), mais aussi « système de numération de Bergman ». Tout nombre réel positif possède une représentation standard en base φ où seuls les chiffres 0 et 1 sont utilisés, et où la suite « 11 » est évitée. Une représentation non standard en base φ avec ces deux chiffres (ou avec d'autres chiffres) peut toujours être réécrite en forme standard, en utilisant les propriétés algébriques du nombre φ — c'est-à-dire que φ + 1 = φ2.Par exemple 11φ = 100φ. Malgré l'usage d'une base irrationnelle, tous les entie (fr)
- Het talstelsel met de gulden snede als basis is een positiestelsel waarin elk niet-negatief reëel getal kan worden voorgesteld door een reeks van machten van de gulden snede, het irrationale getal , zonder dat in de voorstelling twee opeenvolgende machten van voorkomen. Deze voorstelling, die uniek is, wordt de standaardvorm genoemd. Zo worden de getallen 1 tot en met 9 in dit talstelsel voorgesteld door: . Zo is bijvoorbeeld: De omrekening had ook als volgt kunnen gaan: . (nl)
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- Base d'or (fr)
- Golden ratio base (en)
- 黄金進法 (ja)
- Talstelsel met basis gulden snede (nl)
- Złoty system liczbowy (pl)
- 黄金进制 (zh)
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